Claude Fable이 Jacobian 추측의 반례를 만들다

• Claude Fable이 만든 것으로 소개된 다항식 사상은 Jacobian 행렬식이 상수 -2이면서 서로 다른 세 점을 같은 점으로 보내 Jacobian 추측의 반례가 됨
• 이 사상은 ℂ³ → ℂ³에서 정의되며, 세 성분 모두 x, y, z에 관한 다항식으로 구성됨
• 서로 다른 (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2)가 모두 (-1/4, 0, 0) 으로 대응돼 단사 함수가 아님
• Jacobian 행렬식과 두 입력점의 함수값은 각각 연결된 Wolfram|Alpha 계산으로 확인할 수 있음
• 상수이면서 0이 아닌 Jacobian 행렬식을 가지면서도 단사성이 성립하지 않아, 제시된 식은 ℂ³에서 Jacobian 추측을 반박함

다항식 사상과 Jacobian 행렬식

• ℂ³ → ℂ³ 사상은 다음 세 다항식 성분으로 구성됨
  • 첫 번째 성분: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
  • 두 번째 성분: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
  • 세 번째 성분: 2x - 3x^2y - x^3z
• 이 사상의 Jacobian 행렬식은 -2 임
• Wolfram|Alpha 계산에서 행렬식 값을 확인할 수 있음

단사성을 깨뜨리는 세 입력점

• 다음 세 점은 서로 다르지만 모두 (-1/4, 0, 0) 으로 대응됨
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)
• 첫 번째와 두 번째 입력점의 함수값도 연결된 Wolfram|Alpha 계산으로 확인할 수 있음
• 따라서 이 다항식 사상은 단사 함수가 아니며, 상수이자 0이 아닌 Jacobian 행렬식을 갖는다는 조건과 함께 Jacobian 추측의 반례가 됨