자기 자신을 통과할 수 없는 첫 번째 형태 발견

• 수학자들이 자기 자신을 통과할 수 없는 3차원 형태를 처음으로 발견했으며, 이는 기존의 기하학적 직관을 뒤흔드는 발견임
• 대부분의 다면체는 Rupert 통로(Rupert passage) 라 불리는 특정 회전·이동 조합을 통해 자기 복제체를 통과시킬 수 있으나, 이번 형태는 그 어떤 방향에서도 불가능함이 확인됨
• 연구자들은 수억 개의 다면체를 알고리듬으로 생성·검증했으며, 거의 모든 경우에서 통로를 찾았지만 극소수의 예외가 존재함
• 두 수학자는 YouTube 영상에서 영감을 받아 자체 알고리듬을 개발, 2021년 논문에서 특정 다면체가 통과 불가능할 것이라 추정했고 이번 연구로 그 가능성이 강화됨
• 이 발견은 기하학적 대칭성과 공간 탐색 알고리듬 연구에 새로운 방향을 제시하며, 수학적 형태의 근본적 한계를 드러낸 사례로 평가됨

Nopert 형태의 희귀성과 탐색 과정

• 연구자들은 Nopert(자기 통과 불가능한 형태) 후보가 극도로 드물다는 사실을 확인
  • Murphy는 2023년부터 수억 개의 다면체를 생성해 실험
  • 무작위 다면체, 구 위의 정점 배열, 대칭 구조를 가진 다면체, 일부 정점을 의도적으로 변형한 형태 등을 포함
• 그의 알고리듬은 거의 모든 형태에서 Rupert 통로를 쉽게 탐색했으나, 일부 형태에서는 끝내 통로를 찾지 못함
  • 이 예외적 형태들이 진정한 Nopert인지, 혹은 단순히 통로 탐색이 어려운 경우인지는 아직 불확실
• 이러한 결과는 진짜 Nopert의 존재 가능성을 수학자들 사이에서 강하게 시사함
  • 그러나 2024년 8월 이전까지는 확실한 증거가 없었음

“No Passage” — 통로가 존재하지 않는 형태의 발견

• Steininger(30세)와 Yurkevich(29세)는 수학 올림피아드 동문 출신의 친구이자 연구 파트너로, 학계를 떠난 뒤에도 미해결 문제를 함께 탐구
  • “3시간 전에도 피자를 먹으며 거의 수학 이야기만 했다”는 인터뷰 발언으로 그들의 열정을 표현
• 5년 전, 두 사람은 한 정육면체가 다른 정육면체를 통과하는 YouTube 영상을 보고 Rupert 문제에 매료됨
  • 이후 자체 Rupert 통로 탐색 알고리듬을 개발해 일부 형태가 통과 불가능하다는 확신을 가지게 됨
• 2021년 논문에서 rhombicosidodecahedron(마름사십이면십이각체) 이 Rupert 형태가 아닐 것이라 추정
  • 이는 Murphy와 Grimmer의 최근 연구보다 앞선 최초의 “통과 불가능한 고체” 가설 제시로 평가됨
• Steininger는 “우리가 처음으로 이런 성질을 가지지 않는 고체가 있을 수 있다고 추정한 연구였다”고 언급

Nopert 증명의 수학적 조건

• 어떤 형태가 Nopert임을 증명하려면, 모든 가능한 방향과 회전 조합에 대해 Rupert 통로가 존재하지 않음을 입증해야 함
  • 각 방향은 회전 각도의 집합으로 표현 가능
  • 이 각도 집합은 고차원 매개변수 공간(parameter space) 의 한 점으로 나타낼 수 있음
• 따라서 증명 과정은 매개변수 공간 전체를 탐색하며 통로 부재를 확인하는 문제로 귀결
  • 이는 계산적으로 매우 복잡하며, 완전한 증명을 위해서는 무한한 방향 조합을 고려해야 함
• 현재까지의 결과는 컴퓨터 탐색으로 가능한 유한한 경우의 검증에 기반하며, 완전한 수학적 증명은 아직 진행 중임